“hva er MATEMATIKK” av Liza Lorentzen

Hva er matematikk?Boken “hva er MATEMATIKK” av professor i matematikk ved NTNU, Lisa Lorentzen, kom ut i november. Den er en del av Universitetsforlagets “hva er”-serie. Jeg fullførte nylig boken.

Boken er ment for folk flest, og det er meningen at hvem som helst skal kunne lese boken uten å gå glipp av noe.  Boken har syv kapitler, hvor de seks siste begynner med “matematikk og …”: tall, verden, struktur, sannhet, uendeligheten og skjønnhet.

Målet med boken er ikke å gi noe hurtigkurs i matematikk eller å være noe “survival kit” gjennom Kalkulus-kurset. Den prøver, tvert om, å beskrive hva matematikk er gjennom å appellere til hva en matematiker gjør og hva som er så fascinerende med matematikk. Nettopp på siste punktet skinner forfatterens egen fascinasjon gjennom. Matematikk er utrolig fascinerende, og har man ikke allerede denne fascinasjonen, smitter den over fra Lorentzens engasjerte beskrivelser.

På enkelte steder virker hun så fascinert at det nesten virker kunstig – men man skal ikke klage så mye over overdreven fascinasjon for matematikk! Slikt finner man ikke over alt.

Hun tar blant annet opp Möbius-båndet, at \sqrt{2} er irrasjonal, Koch-snøflak, fraktaler, matriser, matematiske modeller, uendelighet, tesseleringer av planet, Euler-karakteritistikk, med mer.

Boken er lettlest (kan hende enkelte deler ikke er kjempelettlest om man ikke er vant til å lese tung matte) – fin sengelesing/trikkelesestoff.

“Fearless Symmetry” by Avner Ash, Robert Gross

At a book store in a shopping center by the coast of California I found this gem of a book. I skimmed through the content list, and bought it without much more thinking. In retrospect, it is safe to say that it was worth the $23.95 plus Californian tax.

As the title suggests, the book is much about symmetry  – but it is also slightly misleading. The book is really about number theory and the theory that led to the solution of Fermat’s  Last Theorem.

The book’s main mission is to explore the absolute Galois group $$G=G(\mathbb Q^{alg}/\mathbb Q)$$ through representations, that is, morphisms from $$G$$ to more known groups, such as matrix groups and finite fields. As such, the book is more about representation theory than symmetry. But it doesn’t stop there! A main theme in the book is how representation theory is behind generalized reciprocity laws in number theory and how reciprocity laws are used in advanced mathematics (an example of a reciprocity law is $$(p/q)=(-1/q)(q/p)$$ where $$(p/q)$$ is the Legendre symbol. That is, knowing if $$p$$ is square mod $$q$$ tells us if $$q$$ is square mod $$p$$ and conversely).

The book is written in a leisurely language and contains no difficult proofs and avoids technical definitions – without losing substance. Number theory is presented as a rich subject with lots of tools and abstractions.

The presentation was very inspirational, and this next semester will be like Christmas for me.

Mathematics – Form and function by Saunders Mac Lane

I have just finished reading “Mathematics – form and function” by Saunders Mac Lane. The main goal of the book is to present the author’s philosophy of mathematics, answering the question “what is mathematics?”. In doing so, he also answers the question “is mathematics true?” and demonstrates that it is a non-question. He presents mathematics as a set of tightly intervowen formal rules, wherein deduction is only allowed following the “rules of deduction”. Continue reading Mathematics – Form and function by Saunders Mac Lane

Ian Stewart – From here to infinity

Jeg har akkurat fullført boken “From here to infinity – A Guide to Today’s Mathematics” av Ian Stewart. Tittelen er veldig beskrivende: den handler stort sett om hva matematikere har drevet med de siste par hundre årene, og tar opp et svært bredt spektrum av temaer (primtall (dvs. Riemann-hypotesen), knuteteori, topologi (f.eks 4-fargeteoremet), algebra (f.eks uløseligheten av femtegradslikningen), og beregnbarhet (f.eks Gödels kjente teorem)).

Boken er veldig inspirerende for en vordende matematiker. Vi får høre om hvor lang tid det tar å bevise viktige resultater, om uløste problemer, og noe om hvordan en matematiker arbeider.

Boken ble første gang utgitt i 1987, så noe av informasjonen er allerede utdatert. For eksempel er både Poincaré-formodningen og Fermats siste sats løste problemer i dag. Men det er bare motiverende! (selv i dag har matematikere noe å gjøre)

Begrepene i boken introduseres på en lettlest måte, og kan leses av alle med allmennkunnskapene i orden.  Jeg koseleste boken i den forstand at jeg ikke tok meg tid til å “gjennomforstå” hvert eneste nye begrep som ble innført.

Forfatteren fokuserer mye på hvor mye matematikken har blitt anvendt i samfunnet rundt oss, og beskriver hvordan utviklingen av ny matematikk har blitt inspirert av fremgang i fysikk/biologi/økonomi/osv.  Han spår at “det tjueførste århundrets matematikk” (dvs. dagens og framover!) vil bli mye preget av samspillet mellom datamaskiner/fysikk og moderne teknologi. Selv har jeg ikke dette inntrykket, men det er likevel interessant å lese om hvordan man på slutten av 80-tallet så for seg framtidens matematikk.

Boken kan lånes på  Matematisk Bibliotek på Blindern. (når jeg har levert den tilbake!)

Symmetry – Marcus du Sautoy

Jeg har nylig fullført boken “Symmetry – A journey into the patterns of nature” av Marcus du Sautoy. Jeg begynte å lese boken på flyet hjem fra Bangkok (på grunn av heldige omstendigheter satt jeg på Business Class), og fullførte den for noen dager siden.

Boken er en perle å lese for alle matematikkstudenter – og også andre matematikkinteresserte. Den er en fin blanding av matematikkhistorie, matematikken bak symmetri (fortalt svært lettfattelig) og hvordan det er å være matematiker. Sistnevnte ingrediens er kanskje den mest velsmakende av alle tre.

Som tittelen hinter til, handler boken om symmetri, og hva det egentlig ér. “Vanlige”, uopplærte mennesker, har en vag definisjon i bakhodet, og tenker kanskje på speil og blomster. Boken prøver å fortelle oss hva en matematiker mener med symmetri, og hvordan man har laget et matematisk begrep som gjør at man kan regne med “symmetrier”. Man snakker om symmetrigrupper, og klassifiseringen av de endelige simple gruppene.

Matematikkdelen av boken er enkel, og det aller meste er forståelig for de aller fleste. Likevel tror jeg det kan være en fordel å kjenne noen av begrepene (gruppeteori, spesielt) når man leser boken slik at man forstår hva den snakker om. Da blir det virkelig spennende!

Historiedelene av boken forteller hvordan man har arbeidet med symmetribegrepet opp gjennom historien, hvordan det førte til at vi begynte å telle (ved at vi ser likheter mellom enkeltting), og hvordan symmetribegrepet hjalp oss å bevise at femtegradslignigen ikke har noen løsningsformel).

du Sautoy forteller hvordan det er å arbeide som matematiker. Om hvordan det er å reise verden rundt på konferanser, om sære matematikere, og hvordan det er å jobbe på et universitet.

Som en subtil symmetrisk detalj starter og slutter boken på samme begivenhet.

Anbefales.

Matematikk, en veldig kort innføring

Jeg fullførte akkurat boken “Mathematics – A Very Short Introduction”  av Timothy Gowers i den velkjente very short-serien. Selv om boken ikke akkurat ga meg stort faglig nytt (siden jeg studerer emnet på universitetsnivå), ga den meg innsikt i formidling av matematikk. Gowers har klart det ikke veldig mange klarer, nemlig å formidle essensen av hvordan profesjonelle matematikere arbeider, og hva matematikk er (bare så det er sagt, så er jeg (ennå) ikke noen profesjonell matematiker) – og det på en veldig forståelig måte.

Et gjennomgangbudskap i boken er den matematiske metode, noe han også kaller “the abstract method”. Matematikk går ut på å velge seg noen aksiomer, (finne ut om disse er kompatible med hverandre), og utlede proposisjoner ut fra disse. Han poengterer at det ikke er relevant hva ting er, men heller hvilke regler de adlyder. Et eksempel: det er ikke viktig å vite hva tall er, det er viktig å vite for eksempel at $$a(b+c)=ab+ac$$.

Boken avsluttes med en “ofte stilte spørsmål”-del som, ihvertfall for meg, var veldig interessant å lese. Noen av spørsmålene han prøver å svare på er “Is it true that mathematicians are past it by 30?”, “Why are there so few women in mathematics?”, “Are famous mathematical problems ever solved by amateurs?”.

Boken kan leses av alle som har fullført ungdomsskolen. Om man er interessert i matematikk og  liker å lese korte lærerike bøker,  så passer denne for deg =)

Boken koster kun ca 55 norske kroner på Amazon. Jeg vil forøvrig også anbefale interesserte i å ta en titt på bloggen til Gowers.