Hva er sannsynligheten for at ditt telefonnummer er primtall?

Et illustrasjonsbilde for å gjøre artikkelen mer interessant. Det har ingenting med matematikk å gjøre. Kilde: Wikipedia.
Et illustrasjonsbilde for å gjøre artikkelen mer interessant. Det har ingenting med matematikk å gjøre. Kilde: Wikipedia.

La oss snakke litt om telefonnummer og primtall og sannsynlighet. Hva er sannsynligheten for at ditt telefonnummer er primtall?

La oss starte med telefonnummer. I prinsippet kan et telefonnummer være en hvilken som helst åttesifret tallkombinasjon mellom 0 og 10^8-1. Men la oss være litt mer realistiske. Ingen privatpersoner i Norge har et mobilnummer som begynner på 0, 1 eller 8. De resterende tallene er enten fasttelefon eller mobil (her er kilden min denne to år gamle tråden på Norsk Freakforum). Så for oss er definisjonen på et telefonnummer et hvilken som helst 8-sifret tall som starter på en av tallene 2,3,4,5,6,7 eller 9 (det gir 7 \cdot 10^{7} mulige nummer, altså ca. 14 nummer per person i Norge. Dette er egentlig ikke så mye - ettersom bedrifter ofte har mange nummer).

La oss snakke litt om primtall. Et primtall er et tall som ikke er en 1, og er delelig med kun seg selv og 1. (for de matematisk sofistikerte: vi vil at restkroppen \mathbb Z/(p) skal være en kropp, og hvis p=1, får vi \mathbb Z/(p) =0, altså "kroppen med ett element", som er problematisk). For å friske minnet, her er de første primtallene: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43..,101,... So far so good!

Det er lett å se at det er uendelig mange primtall. Dette ble bevist for flere tusen år siden, og det mest kjente beviset, som fremdeles er det eneste man lærer i dag, ble gitt av Euklid. Det går som følger: Vi skal konstruere en uendelige følge med primtall (ikke nødvendigvis alle, men likefullt en uendelig følge). La første tall i følgen være 2. Anta så induktivt at vi har konstruert følgen opp til a_k. Dann så tallet a_1a_2a_3 \cdots a_k + 1 (produktet av alle tallene i følgen sålangt pluss en). Dette er et tall som ikke har noen faktor felles med noen av tallene i følgen så langt, så det må finnes et primtall p som er ulik a_i for i=1,2,\cdots,k. Sett a_{k+1}=p. Dette viser at vi kan danne en uendelig lang liste med forskjellige primtall. QED.

Legg merke til at teknikken i beviset ikke produserer alle primtall. For å se dette, prøv å konstruér følgen over, og se hvilke primtall som mangler. Hint: følgen vil starte med 2,3,7,....

Men dette var en digresjon. Det neste store spørsmålet med primtall, nå når vi vet at det er uendelig mange av dem, er: hvordan fordeler primtallene seg? Med andre ord, hvor mange primtall er det i intervallet [0,x] når x varierer? For eksempel, for x=10, ser vi at det er 4 primtall mellom 0 0g x=10. Mellom 0 og 20 har vi 8 primtall. Mellom 0 og 30 har vi 10 primtall. Allerede nå ser vi et mønster: primtallene blir sjeldnere og sjeldnere. Faktisk kan vi komme med en tilnærmet formel for hvordan hvor mange primtall det er lavere enn x (vi kaller "antall primtall lavere enn x for \pi(x)):

 \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}.

Her betyr "\sim" at formelen er en god tilnærming for store x. Denne formelen er kjent som "primtallssatsen", og ble først bevist av Hadamard og Poussin ved hjelp av komplekse teknikker (både billedlig og bokstavelig talt). Et mer elementært bevis ble gitt mye senere av den norske matematikeren Atle Selberg og den ungarske matematikeren Paul Erdös uavhengig av hverandre (noe som forøvrig skapte en ørliten plagiatkonflikt i matematikermiljøet, men det er annen sak...).

y-aksen viser antall primtall lavere enn x. Bildet er sakset fra Wolphram Mathworld.
y-aksen viser antall primtall lavere enn x. Bildet er sakset fra Wolphram Mathworld.

Det som er så fint med primtallssatsen, er at vi nå kan beregne hvor mange telefonnummer som er primtall (circa, selvfølgelig!). Siden ingen telefonnummer starter på 8, må vi gjøre dette i to omganger. Først regner vi ut hvor mange primtalltelefonnummer det er som begynner på 2,3,4,5,6,7, og så hvor mange som begynner 9. Det første tallet er \pi(80000000)-\pi(20000000) (klarer leseren å se hvorfor??). Det andre tallet er \pi(100000000)-\pi(90000000). Nå kan vi bruke primtallformelen over for å regne ut hva disse differansene er. Gjør vi det får vi henholdsvis 3.206.519  og 514.762 (rundet til nærmeste heltall). Dermed er det circa 3.206.519+514.762=3.721.281 \approx 3.7 \cdot 10^6 telefonnummer som er primtall.

Vi konkluderer med at prosentmessig er det

 100 \cdot \frac{3.7 \cdot 10 ^6}{7 \cdot 10^7}\approx 5.3\%

Så med andre ord, det er omtrent like mange folk med primtallstelefonnummer som Venstre-velgere i dette landet.

Legg igjen en kommentar